Mateo Chávez doorliep vanaf zijn negende de jeugd van Deportivo Guadalajara, beter bekend als Chivas. Later maakte hij de overstap naar Tapatío, het tweede team van Chivas. De Mexicaan maakte in januari 2024 zijn debuut voor het eerste elftal van Chivas. Chávez maakte de overstap naar AZ in de zomer van 2025. Hier tekende hij een contract tot medio 2030 en sloot zich aan bij AZ.
Chávez makate zijn officiële debuut voor AZ op 10 Augustus 2025 in de Eredivisie tegen FC Groningen. In deze wedstrijd wist de Mexicaanse vleugelverdediger een assist te geven en won AZ de wedstrijd met 4-1. In zijn eerste seizoen groeide Chávez steeds meer uit tot een vaste waarde binnen de ploeg. Chávez scoorde zijn eerste officiële doelpunt op 17 mei 2026 tegen NAC Breda.
De zomer van 2026 was voor Chávez een erg bijzondere zomer. Hij werd namelijk opgenomen in de WK-selectie van Mexico onder leiding van Javier Aguirre Onaindía. In de groepswedstrijd op het WK tegen Tsjechië maakte de AZ-verdediger zijn debuut voor de nationale ploeg en tevens zijn eerste doelpunt voor Mexico.
